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如參考文獻(xiàn)中所描述，可采用標(biāo)準(zhǔn)過程來確定鎖相環(huán)(PLL)中二階環(huán)路濾波器的R0、C0和CP數(shù)值。它采用開環(huán)帶寬(0)和相位裕量(?M)作為設(shè)計(jì)參數(shù)，并可擴(kuò)展至三階環(huán)路濾波器，從而確定R2和C2（圖1）。該過程可直接解出CP，然后推導(dǎo)出其余數(shù)值。

2可能是集成在PLL內(nèi)的固定值元件，因此僅有R0和C0用來控制環(huán)路響應(yīng)。這便使得上述過程無效，因?yàn)闊o法調(diào)節(jié)CP。本文提出一種替代過程，可在CP數(shù)值固定時(shí)使用，突破了無法控制CP值造成的限制。

圖1.典型二階和三階無源環(huán)路濾波器

假設(shè)條件

本環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)方法基于兩個(gè)假設(shè)，在三階無源濾波器設(shè)計(jì)中，通過調(diào)節(jié)R0和C0來補(bǔ)償R2和C2，可以將一個(gè)二階環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)擴(kuò)展為三階設(shè)計(jì)，此時(shí)通常會(huì)采用這兩個(gè)假設(shè)條件。

R2和C2形成的極點(diǎn)頻率應(yīng)當(dāng)至少比0（所需開環(huán)單位增益帶寬）大一個(gè)數(shù)量級(jí)；f0le0.1/(2piR2C2)，其中f0=0/(2pi)。

R0-C0-CP網(wǎng)絡(luò)的R2和C2串聯(lián)組合的負(fù)載可忽略不計(jì)。

二階環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)

二階環(huán)路濾波器有兩個(gè)時(shí)間常數(shù)（T1和T2）與元件有關(guān)：

環(huán)路濾波器傳遞函數(shù)的T1、T2和CP很重要，因?yàn)樗鼘τ赑LL的整體響應(yīng)起著很大的作用：

PLL系統(tǒng)函數(shù)

圖2中的小信號(hào)模型為PLL響應(yīng)的等式化提供了一種途徑，并為分析輸入端相位干擾所造成的輸出端相位變化提供了模板。注意，壓控振蕩器(VCO)作為一個(gè)頻率源，表現(xiàn)為理想的相位積分器，因而其增益(KV)系數(shù)為1/s（對積分進(jìn)行等效拉普拉斯變換）。因此，PLL的小信號(hào)模型是復(fù)頻率s的函數(shù)（s=sigma+j）。

圖2.PLL小信號(hào)模型

PLL的閉環(huán)傳遞函數(shù)(HCL)定義為：OUT/IN。開環(huán)傳遞函數(shù)(HOL)定義為：FB/IN，與閉環(huán)傳遞函數(shù)相關(guān)。建議以HOL來表示HCL，因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)包含閉環(huán)穩(wěn)定性的線索：

K表示鑒頻鑒相器(PFD)、電荷泵和VCO的組合增益也就是說，K=KDKV，其中KD表示電荷泵電流，單位為A；KV表示VCO增益，單位為Hz/V。HOL、HCL和HLF均為s的函數(shù)。等式4中的負(fù)號(hào)表示圖2中求和節(jié)點(diǎn)的負(fù)反饋導(dǎo)致相位反轉(zhuǎn)。根據(jù)等式4定義的HOL導(dǎo)致等式5中分母的減法運(yùn)算，直觀地解釋了閉環(huán)穩(wěn)定性。

檢查等式5，可以發(fā)現(xiàn)潛在的環(huán)路穩(wěn)定性問題。由于HOL是復(fù)數(shù)頻率s=sigma+j的函數(shù)，它必然具有取決于頻率的幅度和相位分量。因此，對于任意的s值，如果HOL同時(shí)表現(xiàn)出單位增益和零點(diǎn)相移特性（或2pi弧度的整數(shù)倍），則HCL分母為零，閉環(huán)增益再次變?yōu)槲炊x，系統(tǒng)變得極不穩(wěn)定。這意味著穩(wěn)定性受依賴于頻率的HOL幅度和相位特性所控制。事實(shí)上，在使得HOL為單位幅度的頻率處，HOL相位必須離開零（或離開2pi任意整數(shù)倍）足夠遠(yuǎn)，才能避免等式5中的分母為零。

使HOL為單位幅度處的頻率0非常重要。0處的HOL相位決定了系統(tǒng)的相位裕量?M。0和?M都可由HOL推導(dǎo)得出。

根據(jù)0和?M定義R0和C0

0和C0

使用設(shè)計(jì)參數(shù)0和?M來確定R0和C0值要求表達(dá)式包含這四個(gè)變量，以及其它常數(shù)項(xiàng)?？梢詮牡仁?入手，因?yàn)榈仁?定義了HOL。這樣便將HLF加入其中，進(jìn)而通過T1和T2加入R0和C0。由于HOL具有幅度和相位，因此原則上0和?M也能加入其中。將等式3代入等式4，重新排列各項(xiàng)可得等式6；等式6以T1和T2以及常數(shù)K、N和CP來表示HOL：

將等式3代入等式4，重新排列各項(xiàng)可得等式6；等式6以T1和T2以及常數(shù)K、N和CP來表示HOL：

在s=j時(shí)進(jìn)行評(píng)估，可得HOL頻率響應(yīng)如下：

分母中的(j)2項(xiàng)可簡化為2：

HOL幅度和相位為：

記住，T1和T2是R0、C0和CP代數(shù)組合的縮寫表達(dá)式。=0時(shí)評(píng)估等式9，并使|HOL|=1即可定義單位增益頻率0，表示HOL為單位幅度時(shí)的頻率。

類似地，=0時(shí)評(píng)估等式10，并使angHOL=?M即可定義相位裕量?M，表示頻率為0（單位增益頻率）時(shí)的HOL相位。

擴(kuò)展等式11和等式12很容易，將等式1中的T2和等式2中的T1代入即可將R0和C0帶入等式。因此，我們順利地將0和?M與變量R0和C0以及常數(shù)K、N和CP相關(guān)聯(lián)。

同時(shí)求解我們所得到的等式中的R0和C0很困難。MathCad提供的符號(hào)處理器可求解這兩個(gè)聯(lián)立方程，但必須以arctan代替arccos。進(jìn)行變換后，符號(hào)處理器便可求解R0和C0，得到下列解集（R0A、C0A；R0B、C0B；R0C、C0C；以及R0D、C0D）。有關(guān)對等式12進(jìn)行變換以便使用arccos函數(shù)的詳細(xì)信息請參見附錄。

這個(gè)結(jié)果是有問題的，因?yàn)槟繕?biāo)是在給定0和?M的情況下求解R0和C0；而運(yùn)算結(jié)果表明存在四對可能的R0和C0，而非唯一的R0、C0對。然而，若進(jìn)一步檢查這四組結(jié)果，便可得出只有一組解。

注意，就PLL建模而言，上述等式中的所有變量都具有正值，包括cos(?M)；這是因?yàn)椋?M的范圍限制在0和pi/2之間。因此，C0A和R0B顯然是負(fù)數(shù)。由此可知，R0A、C0A和R0B、C0B可立即加以排除，因?yàn)樵挡豢赡転樨?fù)，但需進(jìn)一步分析R0C、C0C和R0D、C0D。

注意，包含R0C、C0C和R0D、C0D在內(nèi)的四個(gè)等式有公因數(shù)：

進(jìn)一步分析可知，等式13的形式為：a2(2ac)cos(beta)+c2。以b2表示該式，可得：

等式14即為余弦定理，以a、b和c表示三角形的三條邊長度，beta表示頂點(diǎn)對邊b的內(nèi)角。由于b2表示三角形一條邊長度的平方，它必須為正，這也就意味著等式14的等號(hào)右邊也必須為正。因此，等式13必須為正，意味著R0D的分母為正。R0D的分子同樣為正，因此R0D必須為負(fù)，這便排除了R0D、C0D。這使得僅有R0C、C0C對可作為等式11和等式12的解。

R0和C0的限制

雖然等式15和等式16有可能是等式11和等式12的公共解，但它們僅在R0和C0均為正時(shí)才有效。仔細(xì)檢查R0可知其為正它的分子為正，因?yàn)閏os2(x)范圍為0到1，且它的分母與等式13相同，由前文可知其為正。C0分子同樣與等式13相同，因此只要分母滿足下列條件，C0就為正：

圖3以圖形方式表示這種關(guān)系；不等式17左右兩側(cè)均等于y（藍(lán)色曲線和綠色曲線），水平軸共享0和?M。兩條曲線的交點(diǎn)表示0和?M的邊界。紅色弧線部分所表示的條件使等式17成立。紅色弧線下方的水平軸部分決定了C0為正的?M和0范圍。注意，藍(lán)色曲線和綠色曲線交點(diǎn)正下方水平軸上的點(diǎn)確定了?M_MAX，即?M的最大值；該值確保C0為正。

等式18要求CPN02小于K，才能滿足?M_MAX的arccos范圍為0到pi/2的限制條件。這便確定了0_MAX，即0的上限，保證C0為正。

圖3.C0分母的限制條件

補(bǔ)償R2和C2（三階環(huán)路濾波器）

就三階環(huán)路濾波器而言，R2和C2分量產(chǎn)生額外的相移Delta?；該相移與二階環(huán)路濾波器有關(guān)：

為了處理這個(gè)額外的相移，應(yīng)將其從所需的?M值中扣除。

將?M_NEW代入等式15和等式16可得到不同的R0和C0，然后針對二階解，將新數(shù)值用來補(bǔ)償R2和C2引入的額外相移。R2和C2的存在還會(huì)影響?M_MAX，即?M的最大允許值。?M新的最大值(?M_MAX_NEW)為：

結(jié)論

本文演示了僅有R0和C0元件值可調(diào)節(jié)時(shí)，如何使用開環(huán)單位增益帶寬(0)和相位裕量(?M)作為二階或三階環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)。采用R0和C0的二階環(huán)路濾波器仿真PLL，結(jié)果與HOL以及由此得到的相位裕量理論值完美吻合，從而驗(yàn)證了這些等式。根據(jù)等式19和等式18，參數(shù)0和?M針對二階環(huán)路濾波器分別具有上限值。

確定R0和C0的過程中對二階環(huán)路濾波器進(jìn)行了假設(shè)，但通過將所需的相位裕量(?M)根據(jù)等式21調(diào)節(jié)為新的值(?M_NEW)便可擴(kuò)展應(yīng)用到三階環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)中，進(jìn)而根據(jù)等式22得到一個(gè)新的上限值(?M_MAX_NEW)。

雖然使用二階環(huán)路濾波器進(jìn)行仿真可驗(yàn)證等式15和等式16，但若要驗(yàn)證將設(shè)計(jì)過程擴(kuò)展至三階環(huán)路濾波器的等式則需對環(huán)路濾波器響應(yīng)HLF(s)進(jìn)行重新定義，使其包含R2和C2，如下所示：

將HLF的這種形式應(yīng)用到HOL和HCL等式，便可使用R0和C0仿真三階環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)。對其進(jìn)行仿真可知，當(dāng)使用三階環(huán)路濾波器時(shí)，由理論頻率響應(yīng)和相位裕量推導(dǎo)而得的R0和C0計(jì)算值與PLL的HOL有關(guān)。這主要是因?yàn)槭艿搅巳A環(huán)路濾波器中HOL的R2和C2影響。

如前所述，R0和C0等式假定為使用二階環(huán)路濾波器，但在二階濾波器中不存在R2和C2，因此雖然通過調(diào)節(jié)R0和C0可以補(bǔ)償R2和C2造成的相移，但是將它們看做二階環(huán)路濾波器的一部分還是會(huì)構(gòu)成一個(gè)誤差源。然而，哪怕存在這樣的誤差，仿真結(jié)果也表明，使用經(jīng)過調(diào)節(jié)的R0和C0值，但將0限制在最高為等式19推導(dǎo)結(jié)果的frac14也能獲得令人滿意的結(jié)果。事實(shí)上，仿真開環(huán)帶寬和相位裕量的結(jié)果表明，使用三階環(huán)路濾波器的PLL，其與設(shè)計(jì)參數(shù)（0和?M）的偏差很小。

仿真結(jié)果

以下為針對三階環(huán)路濾波器PLL運(yùn)行四次仿真的結(jié)果。所有仿真均采用下列固定環(huán)路濾波器元件和PLL參數(shù)：

CP=1.5nF

R2=165k

C2=337pF

KD=30A

KV=3072(25ppm/Vat122.88MHz)

N=100

仿真1和仿真2使用0=100Hz，該值接近124.8Hz的計(jì)算上限值(0_MAX)。因此，仿真1和仿真2偏離設(shè)計(jì)參數(shù)值（0和?M）約10%。另一方面，仿真3和仿真4使用0=35Hz，約為上限值的frac14。與預(yù)期相一致，仿真3和仿真4非常接近設(shè)計(jì)參數(shù)（0和?M），誤差僅為1%左右。

表1匯總了仿真結(jié)果，并囊括了給定設(shè)計(jì)參數(shù)0和?M的R0、C0、0_MAX和?M_MAX計(jì)算值。注意，為了方便進(jìn)行對比，建議仿真1和仿真3都使用?M=80，但仿真1必須滿足等式22的限制條件，即?M

表1：仿真結(jié)果匯總

圖4和圖5顯示各仿真的開環(huán)和閉環(huán)響應(yīng)。

圖4.開環(huán)增益和相位

圖5.閉環(huán)增益

附錄將非連續(xù)Arctan函數(shù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)Arccos函數(shù)

等式10演示了角度?等于角度2和角度1之差，其中2=arctan(T2)，1=arctan(T1)。此外，T2可以表示為x/1；T1可以表示為y/1：

這表明兩者之間存在如圖6所示的幾何關(guān)系，其中1和2分別由圖6(b)和圖6(a)的三角形定義。圖6(c)結(jié)合了這兩個(gè)三角形，表示?等于1和2之差。

余弦定理將三角形的某個(gè)內(nèi)角()與三角形的三條邊（a、b和c）相關(guān)聯(lián)，關(guān)系式如下：

將余弦定理用在圖6(c)的?角，得到：

圖6.等式10的幾何表示

求解?：